lunes, 21 de abril de 2008

Suplemento cultural, conclusión. EUREKA III

¡Llegamos por fin al meollo de la cuestión!: medición de un segmento parabólico, por esto se entiende, aproximadamente, medición del espacio comprendido entre la línea que os une a las dos chicas y la trayectoria curva que recorrería una piedra lanzada de una a otra con una fuerza tal que la máxima altura estuviese a medio camino de las dos. Ver fig.6. (justo la que está encima). Para calcular este área, primero dibujamos el conflicto triangular que contiene esa zona (pasando una tangente desde novia 2 y una paralela al eje de la parábola por novia 1). También trazamos la mediana desde novia 2 y la prolongamos por fuera del triángulo en su misma medida. (IMPORTANTE que sea la misma medida). Además tened en cuenta que aunque el segmento de recta resultante es continuo, la mediana sólo llega hasta F. Y trazamos ahora también la mediana del triángulo rojo obtenido, con lo que aparecerá el triángulo verde interior a la parábola, que, si recordáis de EUREKA I, era la cuarta parte del grande.
Ahora imaginad que el novio empieza a acercarse a la novia 2, desplazando automáticamente con él a la novia 1. Obtendremos infinitos triángulos semejantes, puesto que la línea novio-novia 1 al desplazarse hacia novia 2 va dibujando infinitas paralelas a sí misma; una de ellas sería DB. Y en todos estos infinitos triángulos semejantes se cumple, cogiendo como ejemplo a DB, esta relación: DB es a EB (la proporción de tamaños, siendo E el punto en que la paralela trazada corta a la parábola) como Novia2Novia1 a BNovia1 y también como Novia2Noviorelativo a DNoviorelativo y como Novia2F a AF y como AF a FG (FG = Novia2F). Esto tiene una explicación, relacionada con la proporción de los lados de los triángulos semejantes y también con alguna característica de la parábola que no hemos visto, si la queréis habrá que hacer un EUREKA IV… cuando sepa cuál es. De momento, para abreviar, aceptémoslo así.
Para divertirnos más y mejor ahora nos montamos en un balancín: una palanca, que es la mediana que prolongamos y cuyo fulcro está en F. (Aunque lo que viene a continuación parece obra mía, os aseguro que es totalmente de Argquímedes).
En el extremo izquierdo de la palanca, G, ponemos, transportado, el segmento EB, y lo llamaremos EtBt. Su centro de gravedad, también G, estará justo en el punto medio del segmento, dónde es tocado por la palanca. Por el otro lado del fulcro, a su derecha, tenemos la línea DB cuyo centro de gravedad, A, está también en el medio, donde corta a la palanca. La proporción entre los tamaños de estas dos líneas (DB y EtBt) es la misma que la proporción entre Novia2F y AF (DB es a EB como Novia2F a AF y EB = EtBt) y por tanto la misma que la que hay entre FG (= Novia2F) y AF. Si imaginamos DB y EtBt como pesos, la proporción entre ellos es la misma que la que hay entre sus distancias al fulcro. Además están situados inversamente, la distancia menor para el mayor peso. Está claro pues que el balancín está estabilizado, en equilibrio, aunque no lo parezca. Esto lo podemos hacer para todas las infinitas líneas paralelas a NoviorelativoNovia1, dentro del triángulo y el balancín siempre estará equilibrado. Por tanto, el peso en conjunto del triángulo (formado por esas infinitas líneas paralelas) está equilibrado con el peso en conjunto del segmento parabólico (que es el que transportamos fuera cada vez). Ahora bien ¿dónde se sitúa el peso en conjunto del triángulo? Muy bien, chic@s, en su centro de gravedad, Cg, que está a 1/3 de la mediana. Bien, si es 1/3 de la mediana también será 1/3 de la distancia que va del fulcro F al extremo izquierdo de la palanca G, puesto que esa distancia mide lo mismo que la mediana. La proporción es de 1 a 3 (ya que es 1/3) y por tanto, si la balanza está equilibrada es porque los pesos también guardarán entre sí esa misma proporción: es decir, uno pesa tres veces más que el otro. Pesa más el que está a la distancia más corta (recordad de la ley de la palanca que eran inversamente proporcionales). Por lo tanto, el triángulo grande en conjunto pesa tres veces más que el segmento parabólico en conjunto. Como el triángulo grande era 4 veces el pequeño contenido en la parábola tenemos que: 4 triángulos verdes / 3 = ¡área de riesgo de una relación de este tipo! Et voilà!
Y diréis ¿y la prueba indirecta? Pues eso lo usa Argquímedes, antes, para demostrar que el centro de gravedad de un conflicto tiene que estar contenido en la mediana del triángulo, algo que yo os he dado por sentado. Pero ésa es otra historia y será contada en otra ocasión.
http://www.agapea.com/EL-CODIGO-DE-ARQUIMEDES-n660964i.htm
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/AsiLoHicieron/arquimedes/Arquimedes2.asp
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Arquimedes,%20el%20genio%20de%20Siracusa.pdf (pág. 16)

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